Ce cours incontournable d’analyse en Tronc Commun Scientifique BIOF détaille l’étude géométrique et analytique des fonctions de référence du second degré et des fonctions homographiques : tracé de la parabole représentant $f(x) = ax^2 + bx + c$, détermination du sommet $S$ et de l’axe de symétrie, et tracé de l’hyperbole représentant $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, détermination du centre de symétrie et des asymptotes.
📐 Formules analytiques des fonctions usuelles (Aperçu direct)
- Fonction trinôme du second degré ($a \neq 0$) : Sa courbe est une parabole tournée vers le haut si $a > 0$ (admet un minimum) et vers le bas si $a < 0$ (admet un maximum).
- Sommet de la parabole : Le sommet est le point $S(\alpha, \beta)$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$. L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x = -\frac{b}{2a}$.
- Fonction homographique ($c \neq 0$ et $ad – bc \neq 0$) : Sa courbe est une hyperbole de centre de symétrie $\Omega(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$.
- Asymptotes de l’hyperbole : Admet deux asymptotes perpendiculaires : une asymptote verticale $x = -\frac{d}{c}$ et une asymptote horizontale $y = \frac{a}{c}$.
1. Compétences indispensables pour tracer les courbes sans erreur
- Calculer le déterminant homographique $\Delta = ad – bc$ : si $\Delta > 0$, la fonction est strictement décroissante sur ses deux intervalles ; si $\Delta < 0$, elle est strictement croissante.
- Construire un tableau de valeurs symétriques autour du sommet ou du centre pour un tracé précis de la courbe.
- Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \ge g(x)$ en observant les intervalles où la parabole est située au-dessus de l’hyperbole.
2. Documents et exercices à télécharger (PDF)
Consultez et téléchargez les ressources pédagogiques officielles ci-dessous :
3. Questions fréquentes des élèves (FAQ)
Q : Que devient la courbe d’une fonction homographique si le déterminant ad – bc = 0 ?
Si ad – bc = 0, la fonction devient constante (ou se simplifie en une droite horizontale privée d’un point) et ne représente plus une hyperbole.