La projection dans le plan : cours et exercices corrigés – Tronc Commun

Pour projeter un point sur une droite, commencez par poser deux questions : sur quelle droite et suivant quelle direction ? Dans le cours de projection dans le plan au Tronc Commun Scientifique BIOF, cette distinction permet de construire les images, de reconnaître les points fixes et d’utiliser les propriétés de Thalès.

1. Construire l’image d’un point

Notez p la projection sur (d) suivant la direction (Δ). Pour construire p(M), tracez par M une droite parallèle à (Δ), puis repérez son intersection M′ avec (d). On écrit p(M) = M′.

Si M appartient déjà à (d), son image est M lui-même. Les points de la droite d’arrivée sont donc les points invariants. Deux points situés sur une même parallèle à (Δ) ont le même projeté.

Projection orthogonale : un cas particulier

Lorsque (Δ) est perpendiculaire à (d), la projection est orthogonale. Dans les autres cas, il faut conserver la direction indiquée dans l’énoncé : tracer systématiquement une perpendiculaire donnerait une autre image.

2. Milieux, alignement et relations vectorielles

Soient A′ = p(A) et B′ = p(B). Si I est le milieu de [AB], alors I′ = p(I) est le milieu de [A′B′]. Cette propriété reste vraie lorsque A′ = B′ : le segment image est alors réduit à un point.

Plus généralement, si le vecteur AM est égal à k fois le vecteur AB, alors le vecteur A′M′ est égal à k fois le vecteur A′B′. Le même coefficient k est conservé. Les images appartiennent toutes à la droite (d), mais cela ne signifie pas que les distances initiales sont conservées.

Exemple : dans un triangle ABC, projetez sur (AC) parallèlement à (BC). Les images de A et B sont respectivement A et C. Si AM = (3/4)AB au sens vectoriel, alors AM′ = (3/4)AC au sens vectoriel.

3. Utiliser Thalès sans se tromper de rapports

Dans un triangle ABC, avec M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) parallèle à (BC), le théorème de Thalès donne :

AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Si AB = 12, AC = 18 et AM = 8, alors AM/AB = 2/3. Par conséquent AN = (2/3) × 18 = 12.

Pour utiliser la réciproque, vérifiez d’abord l’alignement des points et leur disposition sur les côtés. Dans la configuration précédente, si AM/AB = AN/AC, on conclut que (MN) est parallèle à (BC). Une égalité de deux rapports prise sans vérifier la figure ne suffit pas.

4. Exercices corrigés sur la projection

Exercice 1 : identifier les images

Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB]. On projette sur (AC) parallèlement à (BC). Déterminez les images de A, B, C et I.

Correction : A et C appartiennent à (AC), donc p(A) = A et p(C) = C. La parallèle à (BC) passant par B est (BC), qui coupe (AC) en C : p(B) = C. La projection conservant les milieux, p(I) est le milieu de [AC].

Exercice 2 : calculer avec Thalès

Dans un triangle ABC, AB = 15 et AC = 10. Le point M appartient à [AB] et AM = 6. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. Calculez AN.

Correction : AM/AB = 6/15 = 2/5. D’après Thalès, AN/AC = 2/5, donc AN = (2/5) × 10 = 4. Contrôle : N est sur [AC], donc AN doit être inférieur à 10.

Exercice 3 : vérifier une propriété dans un repère

On projette sur l’axe des abscisses, parallèlement à une droite de vecteur directeur (1 ; 1). Déterminez l’image de M(5 ; 2), puis celles de A(1 ; 3) et B(9 ; 1). Vérifiez la propriété des milieux.

Correction : la parallèle passant par (x ; y) coupe l’axe y = 0 au point (x − y ; 0). Ainsi M′(3 ; 0), A′(−2 ; 0) et B′(8 ; 0). Le milieu de [AB] est I(5 ; 2), donc I′(3 ; 0). C’est aussi le milieu de [A′B′], puisque (−2 + 8)/2 = 3.

5. Les erreurs fréquentes au contrôle

• Confondre la droite sur laquelle on projette avec la direction de projection.
• Placer tous les projetés au pied d’une perpendiculaire alors que la projection n’est pas orthogonale.
• Inverser un seul des rapports dans une égalité de Thalès.
• Supposer que A′B′ = AB : la conservation des milieux n’implique pas celle des longueurs.

6. Tous les cours, résumés et exercices à télécharger en PDF

Choisissez parmi les 13 documents ci-dessous. Les séries et leurs corrigés sont indiqués séparément ; les exercices non corrigés permettent de travailler en autonomie.

Les documents conservent les noms et mentions de leurs auteurs respectifs. Le texte de cet article et ses exercices d’application sont rédigés pour Tronc Commun Maroc.

7. Questions fréquentes

Un point peut-il être égal à son projeté ?

Oui, exactement lorsqu’il appartient à la droite sur laquelle on projette.

Deux points distincts peuvent-ils avoir la même image ?

Oui. C’est le cas lorsqu’ils sont sur une même droite parallèle à la direction de projection.

Pour consolider les prérequis : calcul vectoriel dans le plan et droite dans le plan. Retrouvez ensuite le parcours complet de mathématiques.