1/3 est rationnel, mais il n’est pas décimal. À l’inverse, √49 appartient déjà à ℕ puisque √49 = 7. Le cours sur les ensembles de nombres au Tronc Commun Scientifique BIOF sert à justifier ces classements et à calculer sans confondre valeur exacte et valeur approchée.
💡 À retenir en un coup d’œil
- Les inclusions sont : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Un décimal possède une écriture décimale finie. Une fraction est décimale lorsque son dénominateur, après simplification complète, ne contient que les facteurs premiers 2 et 5.
- Pour tout réel a, √(a²) = |a|. La racine carrée désigne toujours une valeur positive ou nulle.
1. Reconnaître les cinq ensembles de nombres
| Ensemble | Définition | Exemple et plus petit ensemble |
|---|---|---|
| ℕ : naturels | 0, 1, 2, 3… | √81 = 9 appartient à ℕ. |
| ℤ : entiers relatifs | Les entiers positifs, négatifs et zéro. | −8 appartient à ℤ, mais pas à ℕ. |
| 𝔻 : décimaux | Les nombres a/10ⁿ, avec a entier relatif et n naturel. | −7/4 = −1,75 appartient à 𝔻. |
| ℚ : rationnels | Les quotients a/b, avec a et b entiers et b ≠ 0. | 5/6 appartient à ℚ, mais pas à 𝔻. |
| ℝ : réels | Les rationnels et les irrationnels. | √3 appartient à ℝ, mais pas à ℚ. |
Classer un nombre consiste à chercher le plus petit ensemble qui le contient, après avoir simplifié son écriture. Le symbole ∈ relie un nombre à un ensemble ; le symbole ⊂ compare deux ensembles. On écrit 4 ∈ ℕ et ℕ ⊂ ℤ.
Comment savoir si une fraction est décimale ?
Réduisez d’abord la fraction. Ainsi, 21/60 = 7/20 et 20 = 2² × 5 : le nombre est décimal, égal à 0,35. En revanche, 7/12 n’est pas décimal car 12 = 2² × 3 et la fraction est irréductible.
2. Calculer avec les racines, les puissances et les identités remarquables
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √a × √b = √(ab). Si b > 0, √a/√b = √(a/b). Ces règles ne s’étendent pas aux sommes : √(a + b) n’est généralement pas égal à √a + √b.
Exemple : √72 − √8 = 6√2 − 2√2 = 4√2. Pour supprimer une racine au dénominateur, utilisez une expression conjuguée : 1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2.
Pour a ≠ 0 et des exposants entiers m et n : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ et (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Par exemple, 2³ × 2⁻⁵ = 2⁻² = 1/4. Une écriture scientifique s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 : 0,00048 = 4,8 × 10⁻⁴.
Gardez aussi les trois identités utiles : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a − b)(a + b) = a² − b².
3. Exercices d’application avec correction
Exercice 1 : trouver le plus petit ensemble
Classez 0 ; −12 ; 9/20 ; 8/15 ; √121 ; √7.
Correction : 0 ∈ ℕ ; −12 ∈ ℤ ; 9/20 = 0,45 ∈ 𝔻 ; 8/15 ∈ ℚ et n’est pas décimal ; √121 = 11 ∈ ℕ ; √7 ∈ ℝ et est irrationnel.
Exercice 2 : simplifier avant de conclure
Calculez A = √98 − 3√8 et B = (√3 + 2)(√3 − 2).
Correction : A = 7√2 − 6√2 = √2, donc A est irrationnel. B = 3 − 4 = −1, donc B appartient à ℤ. L’apparence de l’expression ne suffit pas à déterminer son ensemble.
Exercice 3 : gérer les signes
Calculez C = √((−6)²) et D = (−3)² − 3².
Correction : C = |−6| = 6. D = 9 − 9 = 0. Les parenthèses distinguent la puissance d’un nombre négatif du signe placé devant une puissance.
4. Les erreurs à éviter au contrôle
- Remplacer 1/3 par 0,33 dans une égalité exacte : 0,33 est seulement une approximation.
- Oublier de simplifier une fraction avant d’étudier son dénominateur.
- Écrire √(a²) = a sans vérifier le signe de a.
- Confondre √9 + √16 = 7 avec √(9 + 16) = 5.
5. Tous les cours, résumés et exercices à télécharger en PDF
Choisissez parmi les 17 documents ci-dessous. Les séries et leurs corrigés sont indiqués séparément ; les exercices non corrigés permettent de travailler en autonomie.
| Titre du document | Nature de la ressource | Accès |
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| Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R – Résumé de cours 2 | Résumé de cours | Télécharger PDF |
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| Les méthodes de factorisation – Cours et exercices corrigés | Cours et exercices corrigés | Télécharger PDF |
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6. Questions fréquentes
Zéro appartient-il à ℕ ?
Oui, avec la convention utilisée ici : ℕ = {0, 1, 2…}. L’astérisque retire zéro : ℕ* = {1, 2, 3…}.
Un nombre décimal peut-il avoir plusieurs écritures ?
Oui. Par exemple, 0,5 = 1/2 = 5/10. C’est la valeur du nombre qui détermine son appartenance, pas l’écriture choisie.
Pour poursuivre : arithmétique dans ℕ, ordre dans ℝ et programme des cours de mathématiques.
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