Deux signaux se déclenchent toutes les 18 et 24 minutes. S’ils partent ensemble, ils se retrouveront après 72 minutes, le PPCM de 18 et 24. Ce type de problème donne un sens concret au cours d’arithmétique dans ℕ du Tronc Commun Scientifique BIOF : reconnaître un multiple, décomposer un entier, puis choisir entre PGCD et PPCM.
💡 Les outils à retenir
- a divise b s’il existe un entier naturel k tel que b = ak.
- Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. 1 n’est pas premier.
- Le PGCD prend les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants ; le PPCM prend tous les facteurs avec les plus grands exposants.
1. Divisibilité, parité et nombres premiers
Pour a > 0, l’écriture a | b signifie « a divise b ». Par exemple, 7 | 56 puisque 56 = 7 × 8. Le nombre 56 est donc un multiple de 7. Un entier pair s’écrit 2k ; un entier impair s’écrit 2k + 1, avec k ∈ ℕ.
Les critères de divisibilité permettent de gagner du temps :
- Par 2 : le chiffre des unités est pair.
- Par 3 ou par 9 : la somme des chiffres est divisible par 3 ou par 9.
- Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
- Par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
- Par 10 : le nombre se termine par 0.
Exemple : 2 376 est divisible par 9 car 2 + 3 + 7 + 6 = 18. Il est aussi divisible par 4 puisque 76 l’est. Ces observations ne suffisent toutefois pas à écrire sa décomposition complète.
Tester si un entier est premier
Pour un entier n ≥ 2, cherchez un diviseur premier inférieur ou égal à √n. S’il n’en existe aucun, n est premier. Pour 97, √97 < 10 : il suffit de tester 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 97 ; il est donc premier.
2. Décomposer en facteurs premiers
Divisez successivement par les nombres premiers, en commençant par les plus petits, jusqu’à obtenir 1. Ainsi :
180 = 2 × 90 = 2² × 45 = 2² × 3² × 5.
Vérifiez le résultat par multiplication. Un facteur comme 9 doit encore être décomposé : une écriture contenant 2 × 9 × 10 n’est pas une décomposition en facteurs premiers.
3. Calculer le PGCD et le PPCM
Prenons a = 72 = 2³ × 3² et b = 90 = 2 × 3² × 5.
| Calcul | Choix des facteurs | Résultat |
|---|---|---|
| PGCD(72, 90) | Facteurs communs et exposants minimums : 2 × 3² | 18 |
| PPCM(72, 90) | Tous les facteurs et exposants maximums : 2³ × 3² × 5 | 360 |
Pour deux entiers strictement positifs, PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b. Ici, 18 × 360 = 72 × 90 = 6 480.
Rendre une fraction irréductible
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3. Les nombres 2 et 3 sont premiers entre eux ; la fraction est irréductible.
4. Exercices corrigés pour préparer le contrôle
Exercice 1 : choisir le bon outil
On veut répartir 48 cahiers et 60 stylos dans le plus grand nombre de lots identiques, sans reste. Combien de lots peut-on faire ?
Correction : le nombre de lots doit diviser 48 et 60. On cherche donc leur PGCD. Comme 48 = 2⁴ × 3 et 60 = 2² × 3 × 5, le PGCD vaut 12. Chaque lot contient 4 cahiers et 5 stylos.
Exercice 2 : retrouver une coïncidence
Deux signaux se répètent toutes les 18 et 24 minutes. Ils s’allument ensemble à 8 h. Quand se rallument-ils ensemble pour la première fois ?
Correction : 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3. Le PPCM vaut 2³ × 3² = 72 minutes. La prochaine coïncidence a lieu à 9 h 12.
Exercice 3 : raisonner sur la parité
Montrez que n(n + 1) est pair pour tout n ∈ ℕ.
Correction : parmi deux entiers consécutifs, l’un est pair. Le produit contient donc un facteur divisible par 2, ce qui suffit à prouver que n(n + 1) est pair. Un essai sur quelques valeurs ne remplacerait pas ce raisonnement général.
5. Conseils pour éviter les confusions
- Pour partager sans reste en lots identiques, pensez aux diviseurs et au PGCD.
- Pour une première répétition commune, cherchez un multiple commun et le PPCM.
- Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcément premiers : 8 et 15 sont premiers entre eux.
- Vérifiez les conditions de la formule PGCD × PPCM : les deux entiers doivent être strictement positifs.
6. Tous les cours, résumés et exercices à télécharger en PDF
Choisissez parmi les 28 documents ci-dessous. Les séries et leurs corrigés sont indiqués séparément ; les exercices non corrigés permettent de travailler en autonomie.
| Titre du document | Nature de la ressource | Accès |
|---|---|---|
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| Arithmétique dans ℕ – Cours 3 | Cours magistral | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Résumé de cours 1 | Résumé de cours | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Résumé de cours 2 | Résumé de cours | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Cours et exercices corrigés | Cours et exercices corrigés | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Fiche Méthode | Fiche méthode | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Série d’exercices 1 | Série d’exercices | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Corrigé série d’exercices 1 | Correction de la série | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Série d’exercices 2 | Série d’exercices | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Corrigé série d’exercices 2 | Correction de la série | Télécharger PDF |
| Arithmétique dans ℕ – Exercices corrigés 1 | Exercices corrigés | Télécharger PDF |
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7. Questions fréquentes
Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?
Il n’a qu’un seul diviseur positif. Un nombre premier doit en avoir exactement deux, distincts.
Le PGCD peut-il être égal à 1 ?
Oui. On dit alors que les deux entiers sont premiers entre eux, comme 14 et 25.
À revoir si nécessaire : ensembles de nombres et fractions. Pour la suite : calcul sur les polynômes et tous les chapitres de mathématiques.
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